СМИ

© AP Photo, Joerg SarbachАмериканские подростки достигают мировых высот по математике — больше и намного чаще, чем когда-либо еще, пишет автор, рассказывая о триумфе команды из США на Математической олимпиаде-2015. В статье описываются передовые программы школьного обучения и результаты.Одним знойным вечером в прошлом июле высокий, любезный семнадцатилетний молодой человек по имени Дэвид Стоунер и около 600 других математических талантов со всего мира кучно сидели небольшими группами за плетеными столиками в бистро, разговаривая вполголоса и одержимо обновляя веб-страницы на своих ноутбуках. Воздух в похожем на пещеру фойе отеля Lotus Hotel Pang Suan Kaew в Чиангмае, Таиланд, был влажным, вспоминает Стоунер, чьи тщательно подобранные слова согревает его легкий южнокаролинский акцент. Напряжение в комнате напоминало атмосферу на покер-турнире с высокими ставками.
Стоунер и его пять товарищей по команде представляли Соединенные Штаты на 56-й Международной математической олимпиаде. Они полагали, что за два дня состязаний показали себя достаточно хорошо. Бог свидетель, они усердно готовились. Стоунер, как и его товарищи, жил в изнурительном режиме более года — он отрабатывал решение сложных дополнительных задачек за завтраком перед школой и продолжал решать еще больше задачек до позднего вечера, после того, как заканчивал домашнюю работу по математике, которая по сложности была на уровне программы колледжа. Иногда он записывал доказательства теорем на большой маркерной доске, которую установил в его комнате отец. Вечерами он засыпал, читая книги вроде «Новых задач по евклидовой геометрии» или «Введения в диофантовы уравнения».
Тем не менее, было сложно угадать, как выступила его команда в борьбе с опытными и сильными командами из Китая, России и Южной Кореи. «Ну, то есть, золото? Достаточно ли хорошо мы выступили, чтобы получить золото? Тогда было сложно понять», — рассказывает Стоунер. Внезапно раздался крик кого-то из команды, сидящей в другой стороне фойе, а затем коллективный вздох, когда участники олимпиады приблизились к экранам ноутбуков. Пока Стоунер пытался переварить то, что он увидел на экране, уровень шума в фойе вырос с гудения до радостных возгласов. Затем один из членов его команды издал возглас, который вскоре превратился в скандирование «США! США!»; жидкие аплодисменты от других участников становились все громче, и, наконец, превратились в шквал. Сияя от радости, один из товарищей Стоунера достал из своего рюкзака небольшой американский флаг и начал размахивать им. Стоунер ухмыльнулся. Впервые за 21 год команда Соединенных Штатов Америки заняла первое место. Когда Стоунер рассказывал об этом осенью прошлого года в общежитии Гарварда, где он теперь учится на первом курсе, он вспоминал триумф своей команды со спокойным удовлетворением: «Это был действительно великий момент. Воистину великий. Особенно, если вы любите математику».
Рифкин готовит учителей к трудным вопросам от учеников любого уровня, даже от пятилетних, поэтому уроки переходят от очевидного до ошеломительно абстрактного и обратно. «Самые маленькие, что естественно, воспринимают математику по-разному», — рассказала она мне.
«Зачастую они задают простые вопросы, а потом, в следующую минуту, сложный. Но если учитель не знает математику достаточно хорошо, она ответит на простой вопрос и отклонит другой, более сложный. Мы хотим, чтобы дети задавали сложные вопросы, были вовлечены, чтобы это не было скучно, чтобы они справлялись с алгеброй в раннем возрасте, конечно, но и чтобы они воспринимали ее, как она есть: инструмент для критического мышления. Если их учителя не могут помочь им это сделать, тогда…, — Рифкин искала слово, которое бы передало степень ее разочарования. — Это предательство»
Для вопроса, который едва ли не ровесник самой цивилизации, все еще остается удивительно большое расхождение среди экспертов о том, как лучше всего преподавать математику. Десятилетиями велись пламенные бои за то, что преподавать, в каком порядке, зачем и как. Если говорить в общих чертах, существуют два лагеря. С одной стороны люди, которые за концептуальное знание — понимание того, как математика соотносится с миром — вместо механического запоминания и того, что они называют «пилить и убивать». (Некоторые уважаемые гуру в обучении математики говорят, что запоминание чего-либо в математике контрпродуктивно и душит любовь к учебе.) С другой стороны те, кто говорит, что заучивание таблицы умножения и подобных вещей необходимо для эффективного вычисления. Они считают, что обучение правилам и процедурам, которые правят математикой, формирует основу хорошего обучения и утонченного математического мышления. Они ощетиниваются на фразу «пилить и убивать» и предпочитают называть это просто «практика».
Государственная инициатива стандартов по обязательным школьным предметам (The Common Core State Standards Initiative) идет по узкой тропинке через это минное поле, призывая учителей придавать равное значение «пониманию математики» и «процедурным навыкам». Еще слишком рано, чтобы представлять, какой эффект возымеет эта инициатива. Наверняка сейчас можно сказать только то, что большинство учеников почти не учат математику: только 40% четвероклассников и 33% восьмиклассников знают эту науку, по крайней мере, «выше среднего». За проводимый на международном уровне тест в 2012 году только 9% пятнадцатилетних в США получили «высокий балл» по математике, для сравнения: 16% в Канаде, 17% в Германии, 21% в Швейцарии, 31% в Южной Корее и 40% в Сингапуре.
Новые внешкольные математические программы, такие как «Русская школа», расходятся в учебных программах и методах преподавания, но у них есть общие элементы. Возможно, самым заметным является упор на обучение думать о математике концептуально, а затем использовать это концептуальное знание как инструмент для предсказания, исследования и объяснения окружающего мира. Здесь присутствует недостаток зубрежки и мало времени уделяется на применение списка заученных формул. Скорость вычисления не является достоинством. («Школы зубрежки» с механическим, направленным на подготовку к тестам, подходом к обучению математики стали популярны в некоторых сообществах иммигрантов, и многие репетиторы детей из состоятельных семей тоже его используют, но это противоположно тому, чему учат в программах углубленного изучения.) Чтобы не отставать от одноклассников, ученики быстро выучивают математические факты и формулы, но это скорее побочный результат, а не цель.
Педагогическую стратегию, лежащую в центре этих занятий, свободно называют «решение задач», этот скучный термин не передает, насколько сильно подобный подход к математике может различаться. Подход «решение задач» давно является основой математического образования в странах бывшего Советского союза и таких элитных колледжах, как MIT и Cal Tech. Он работает таким образом: инструкторы дают небольшим группам студентов, обычно распределенных по способностям, немного открытых многогранных ситуаций, которые могут быть решены с помощью различных подходов.
Вот пример с недавно возникшего сайта о математике и естественных науках Expii.com:
Представьте веревку, которая опоясывает Землю по экватору, вплотную к земле (допустим, Земля — идеальная сфера, без гор и долин). Вы перерезаете веревку и привязываете еще один кусок веревки длиной 18м. Это увеличивает общую длину веревки чуть больше, чем на длину автобуса или высоту пятиэтажного здания. Теперь представьте, что веревку поднимают за все места одновременно, так что теперь она плывет над Землей на одной высоте по всей своей длине. Выберете из указанных вещей наибольшую, которая сможет поместиться под веревкой.
Даются следующие варианты: бактерия, божья коровка, собака, Эйнштейн, жираф или космический шаттл. Затем инструктор обучает учеников, пока они рассуждают. В отличие от большинства занятий по математике, где учителя прилагают усилия, чтобы передать знания учащимся — которые должны пассивно впитывать их, а затем повторить на тесте — занятия по решению задач требуют, чтобы ученики выполняли умственный жим лежа: расследовали, предполагали, предсказывали, анализировали и в конце концов проверяли свою математическую стратегию. Цель не в том, чтобы точно выполнять алгоритмы, хотя, конечно, правильный ответ существует (в вышеуказанной задаче это Эйнштейн). Действительно продумать задачу — творчески применить то, что знаешь о математике, и поломать голову над возможным решением — более важно. Сидеть в обычном девятом классе на уроке алгебры — это словно смотреть, как детям читают лекцию о принципах нотной записи, а наблюдать за учениками средней школы на занятиях по решению задач — это слушать, как они поют арию из оперы «Тоска».
Участников «Моста в мир высшей математики» отбирают за крепкую логику, выносливость и навыки общения, а также за удовольствие, которое они получают от решения сложных задач. По часовой стрелке, с середины левого ряда: восьми-, девяти- и десятиклассники Нью-Йорка Зиан Эспинал, Джонтае Мартин, Джезебель Гомез, Назмул Хог, Айша Кейта и Уильям Лоуренс. Низ левого ряда: штатная сотрудница Оскана Джеймс. Фото: Эрин Патрис О'Брайан
Мой опыт показывает, что привычной эмоцией в маткружке Нью-Йорка, «Русской школе», чатах сайта Art of Problem Solving и других подобных ресурсах является искреннее восхищение самим предметом — как у студентов, так и у педагогов. Даже в начальных классах педагоги часто оказываются очень знающими и глубоко вовлеченными в предмет. «Многие из них работают в областях, которые связаны с математикой, — в химии, метеорологии и инженерном деле — и преподают с неполным рабочим днем», — объясняет Рифкин. Эти люди находят свой предмет легкодоступным и весьма интересным, и им важно передать эти его свойства.
Но даже без учета восторженности, педагогика — очень точное дело. В «Русской школе» уроки тщательно структурируются, а план урока каждого учителя проверяется и пересматривается. Педагоги смотрят видеоуроки опытных учителей, где они помогают разъяснить непонимание определенных вещей со стороны учеников. Учителя собираются на видеоконференциях, чтобы обсудить образовательные программы друг друга.
Многие из этих программ — особенно лагеря, олимпиады и маткружки — создают уникальную культуру и чувство приобщенности для студентов с интересом к предмету, а также неловкостью и неровным развитием, присущим молодежи. «Когда я посетил свою первую олимпиаду по математике (в 11 лет), то впервые понял, что нахожусь среди своих», — рассказал Дэвид Стоунер, вступивший в маткружок год спустя и вскоре ставший завсегдатаем Art of Problem Solving. Свободное сотрудничество вне зависимости от возраста, пола и географической позиции само собой разумеется. Хотя сообщество продвинутой математики давно было преимущественно мужским, в него вливается всё больше девушек, и это заметно. Дети расслабляются, играя в настольные стратегии типа Dominion и Settlers of Catan или в «шведские шахматы» — быструю, многослойную версию старой игры. Живут долго и процветают шутки для своих. Типичная надписью для футболки выглядит примерно так: «?-1 23 ? ?… и это было восхитительно!» (Перевод: «Я отведал пирога…») В прошлом июне на Летней программе матолимпиады, учебном поле для будущих олимпиадников, одна из команд на шоу талантов разрабатывала компьютерный код в упоре лежа.
Студенты говорят о своих устремлениях с редкостной уверенностью. Они знают, что решение задач для забавы ведет к решению задач за деньги. Связь может быть вполне прямой: представители некоторых самых узнаваемых компаний технологической индустрии регулярно заглядывают, например, на Brilliant.org, сайт любителей высшей математики, запущенный в 2012 году в Сан-Франциско. «Деньги следуют за математикой» — обыденная поговорка.
Хотя усилия по улучшению математического образования в средних школах и предпринимаются по многим фронтам, с использованием некоторых из методик этих продвинутых классов, подвижки в обучении оказались малозаметными.
Почти все в сообществе продвинутой математики уверяют, что толчок к развитию Утонченных математических умов должен даваться рано и включать в себя множество вдумчивых, концептуальных уроков в начальной и средней школах. Доля американских школьников, владеющих математикой на крайне высоком уровне, может стать куда больше нынешней. «Будут ли они все учиться в одном темпе? Нет», — отвечает Ло, главный тренер маткоманды. — «Но я уверяю вас, что с правильными инструкциями и постоянными тренировками многие, очень многие американские школьники смогут достичь этих высот».
Ученики, показывающие склонность к математике, нуждаются в дополнительных возможностях, с ней связанных, — наряду с компанией других поклонников математики — так же, как ребенок, талантливо обращающийся с мячом, в конце концов будет нуждаться в футбольной команде. И чем раньше этим озаботятся, тем лучше: математика абсолютно последовательна и иерархична.
«Если ждать до старшей школы, чтобы начать ускоренное обучение, поздним пташкам будет недоставать фундаментального мышления и станет тяжелее догнать остальных, особенно всего за четыре года до университета»
В наши дни мало кто может превратиться из «я в математике норм» в обычной школе в человека, которому найдется место в сообществе высшей математики.
Все это представляет собой внушительный барьер. Большинство представителей среднего класса могут искать для своих восьми- и девятилетних детей спортивные программы и летние лагеря, но вряд ли подумают о математическом факультативе, если только их ребенок не испытывает проблем с математикой. «Об этих программах нужно знать, жить в районе, у которого есть такие ресурсы, или хотя бы понимать, где искать», — говорит Сью Ким, со-основательница Brilliant.org. А поскольку многие из этих программ частные, для малоимущих они недоступны. (Семестр в математическом кружке может стоить примерно 19 255 рублей, год в «Русской школе» — вплоть до 192 554 рублей, а четыре недели математической программы с проживанием — и вдвое больше этого.) Национальные данные по достижениям ясно отражают этот разрыв в доступности. Соотношение богатых математически одаренных детей к бедным в Южной Корее составляет 3 к 1, в Канаде — 3,7 к 1, если брать как пример развитые страны. В США оно составляет 8 к 1. И хотя доля американских учащихся, получающих высокие баллы за продвинутую математику, растет, этот рост затрагивает почти исключительно детей высокообразованных родителей и исключает детей бедных. К концу старших классов процент детей из бедных семей, изучающих математику сверх нормы, можно округлить до нуля.
Для Даниэля Захарополя, основателя и исполнительного директора «Моста к продвинутой математике» (сокращенно BEAM), некоммерческой организации со штабом в Нью-Йорке, краткосрочное решение выглядит логичным.
«Мы знаем, что способности к математике есть у всех, а интерес к математике примерно равномерно проявляется у всех слоев населения. Мы также видим, что бедных, но преуспевающих в математике учеников практически нет. Значит, мы знаем, что имеется много, очень много учеников с большим математическим потенциалом, которые не получили шанса развить свое математическое мышление, просто из-за того, что родились не в той семье или не по тому адресу. Мы хотим их найти»
В рамках эксперимента, приковавшего внимание преподавателей и членов математического сообщества, Захарополь, получивший диплом математика в MIT и преподающий математику, каждую весну посещает средние школы Нью-Йорка, где учатся дети из семей с низким достатком. Он ищет учеников, которые, при должном обучении и поддержке, могут занять свое место если не на международной математической олимпиаде, то в каком-нибудь менее трудном соревновании, в математическом кружке и, в конечном итоге, на техническо-математическом факультете в престижном колледже.
Захарополь не ищет себе в программу самых лучших учеников. Эта программа предлагает всестороннюю поддержку, уже доступную богатым любителям математики: трехнедельный математический лагерь с проживанием летом перед восьмым классом, продвинутое обучение после школы, помощь с зачислением в математические кружки и подготовка к математическим соревнованием, а также базовые рекомендации по выбору старшей школы и поступлению в колледж. Математики-отличники его интересуют, но лишь в некоторой степени. «Им необязательно должна нравиться учеба или даже уроки математики», — говорит Захарополь. Вместо этого он ищет детей с сочетанием конкретных способностей: развитого мышления, ясной коммуникации, выносливости. Крайне важно четвертое, не сразу видное качество. «Я ищу детей, которым нравится решать сложные задачи, — говорит Захарополь. — Занятия математикой должны приносить им радость».
Пять лет назад, когда Захарополь зашел в среднюю школу №343, неказистое здание в неблагополучной части Южного Бронкса, и сел поболтать с семиклассником Ксавье Дженкинсом, у которого была широкая улыбка и ирокез на голове, ничто не предвещало успеха. В школе № 343 только 13% детей демонстрируют ожидаемую успеваемость по английскому, 57% — по математике. Эта школа кажется маловероятным инкубатором будущих технологических магнатов или медицинских инженеров.
Но в частной беседе Захарополь узнал, что у Дженкинса есть странная, по мнению его родственников и сверстников, любовь к алгоритмам и числам. В последнее время, признался Дженкинс, он несколько разочарован. Он правильно делает задания по математике, но ему становится скучно.
Захарополь попросил Дженкинса выполнить кое-какие простые вычисления, с которыми тот легко справился. Затем Захарополь дал ему задачу и смотрел, что произойдет:
У вас есть ящик с носками, каждый из которых либо красный, либо белый, либо синий. Вы начинаете вытаскивать носки из ящика, не глядя на них. Сколько носков вы должны вытащить из ящика, чтобы убедиться в том, что вы вытащили хотя бы два носка одного цвета?
«Впервые передо мной встала математическая задача, не имеющая простого решения», — вспоминает Дженкинс. Сперва он просто умножил 2 на 3, чтобы получить шесть носков. Такой ответ его не устроил, и он стал пробовать другие варианты.
«Это меня очень воодушевило, — рассказывает Захарополь. — Многие дети просто решили, что они знают верный ответ». Через несколько минут он предложил Дженкинсу показать правильный вариант решения задачи. Атмосфера в комнате переменилась. «Не только Ксавье дал правильный ответ, — это сделали еще четверо студентов, — но он целиком и полностью понял задачу, — говорит Захарополь. — И похоже, что он наслаждался таким опытом». Четыре месяца спустя Дженкинс с шестнадцатью другими восьмиклассниками жил в одном из общежитий кампуса Бард-колледжа недалеко от Нью-Йорка по летней программе BEAM, изучая теорию чисел, рекурсии и теорию графов под руководством видных математиков, учителей и профессоров из лучших университетов страны. По рекомендации BEAM он принял участие в программе обучения программированию, которая дает возможность стажироваться в Microsoft. Сейчас он заканчивает старшие классы и уже подал заявление в несколько технологических колледжей страны.
Программа BEAM существует пять лет и за это время она расширилась уже вчетверо — в этом году летний лагерь примет 80 студентов; кроме того, в программе участвуют 250 студентов-отличников из семей с низким уровнем доходов. Однако ресурсы программы не безграничны. «Мы знаем, что существует множество, огромное множество детей из небогатых семей, которых мы не можем охватить, и у которых просто нет доступа к таким программам, как наша», — говорит Захарополь.
Для инициатив, которые, в частности, могли бы донести преимущества BEAM, математических кружков, «Русской школы» или «Искусства решения проблем» до более широкого круга учащихся, включая детей из семей со средним и низким уровнем доходов, уже есть название: программы для одаренных и талантливых, которые оплачиваются муниципальным бюджетом и открываются в начальных классах. Однако история таких программ удручает. Критерии отбора варьируются, но у богатых детей больше шансов. Для получения рекомендации на учителей может быть оказано давление; некоторые из стандартных вступительных тестов проверяют словарный запас и общие знания, а не творческое мышление. Кое-где родители оплачивают для детей курсы подготовки к вступительным тестам, а иногда договариваются о тестировании в частном порядке. В результате, несмотря на то, что такие программы по-прежнему существуют, они все чаще закрываются по инициативе школьных администраторов или директивных органов, так как в них видят способ, которым пользуются преимущественно белые и азиаты для того, чтобы использовать скудные муниципальные дотации для приумножения благополучия своих и так уже благополучных детей. (Неопределенное и пафосное название — «одаренные и талантливые» — усугубляет проблему.)
Закон «Ни одного отстающего ребенка» (No Child Left Behind), который действует уже 15 лет, еще больше поспособствовал тому, что эти программы оказались оставлены без внимания. Игнорируя детей, которые проявляют способности или заинтересованность в ускоренном обучении, закон принуждает штаты обращать внимание на тех детей, которые усердно учатся и показывают хорошие результаты — и это благородная цель. Но в результате многие учителя в бедных районах годами невероятно сосредоточены на детях с низкой успеваемостью, оставляя без внимания своих самых смышленых учеников. Некоторые считают, что в их школах вообще нет одаренных детей.
Кумулятивный эффект подобных действий, как это ни парадоксально, вытолкнул ускоренное обучение за пределы общественных школ — передав его в частные руки, и еще больше направив его на детей, у которых есть родительские деньги, чтобы оплачивать подобные блага. Этот эффект сильнее всего проявляется в преподавании математики.
Хорошие новости заключаются в том, что политика в области образования начинает отказываться от прежних позиций. Федеральные и региональные законодательные органы начинают понимать, что возможность ускоренного обучения, которая сейчас доступна только одаренным детям из богатых районов, может пойти на пользу всем школьникам, и многие общественные школы склоняются к тому, чтобы организовывать больше классов продвинутого обучения и расширять набор на онлайн-курсы колледжа. Однако для многих учащихся из семей со средним и низким уровнем доходов, которые любят математику, эти возможности появились слишком поздно.
Возможно, то что закон «Каждый студент добьется успеха», который недавно был принят на смену закону «Ни одного отстающего ребенка», требует от штатов искать одаренных учащихся в каждом округе и следить за их достижениями — это обнадеживающий знак. Впервые в истории страны закон также открыто позволяет школам использовать федеральные средства, чтобы в первые несколько лет экспериментировать с методами отбора одаренных детей из малоимущих семей и научить учителей работать с ними. Стандартный отбор в начальной школе может быть неплохим началом. С 2005 по 2007 годы представители школьного образования города Броуард, Флорида, озаботившись тем, что дети малоимущих и те, кто изучает английский язык, не попадают в программы для одаренных детей, давали всем второклассникам, и богатым и бедным, тест на невербальные рассуждения, а самым результативным — тест на IQ. Критерий «одаренности», не был занижен, однако число детей, у которых были выявлены способности к ускоренному обучению, выросло на 180 процентов.
Смогут ли отдельные штаты принять этот вызов, и справиться с ним эффективно, зависит только от них, однако сторонники новой программы говорят, что уже разворачивают кампанию для успешного начала. Возможно, это и есть тот самый момент для членов сообщества продвинутой математики, которые так успешно развивают юные математические умы, выйти на сцену и показать учителям, как это делается.